Введем некоторые определения для понимания общей картины происходящего:
[!NOTE] Окрестностью точки $C$ называется интервал $(a, b)$, такой что $C$ находится в $(a, b)$.
Или же $a < C < b$.
[!NOTE] $\varepsilon$ окрестности точки $C$ называется интервал $(C - \varepsilon, C + \varepsilon)$
[!NOTE] Пусть каждому натуральному числу $n$ ставиться в соответствие число $x_n$. Тогда множество чисел $x_1, x_2, x_3, \ldots$ называется числовой последовательностью, а сами числа $x_n$ — элементами (членами) числовой последовательности.
[!NOTE] Последовательность $\left{ x_n \right}$ называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число $A$, что $x_n <= A$ ($x_n >= A$) для всех $n$.
[!NOTE] Последовательность $\left{ x_n \right}$ называется ограниченной (не путать с предыдущим, здесь подразумевается, что последовательность ограничена с обоих сторон), если существует такое число $А$, что $\left| x_n \right| <= A$ при всех $n$.
[!NOTE] Последовательность $\left{ x_n \right}$ называется неограниченной, если для любого числа $A$ найдется $x_n$ такой, что $x_n > A$ ($x_n < A$)
[!NOTE] Число $А$ называется пределом последовательности $\left{ x_n \right}$, если для любого $\varepsilon > 0$, существует $N(\varepsilon)$, такое что при $n > N(\varepsilon)$ выполняется неравенство $\left| x_n - A \right| < \varepsilon$.
Обозначается это как:
$\lim_{x \to \infin}{x_n} = A$ (или $x_n \to A$ при $n \to \infin$)
Другими словами для любой окрестности числа $A$ все члены последовательности, начиная с некоторого, находятся в этой окрестности.
Примеры:
[!IMPORTANT] Для того чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной